Question

设函数f（x）=e^x，g（x）=mx+n，e是自然对数的底，m，n∈R．
（Ⅰ）若m=1时方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有两个相异实根，求n的取值范围；
（Ⅱ）若F（x）=f（x）g（x），且n=1-m，求F（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）m=1时，令h（x）=f（x）-g（x），则有

h(0)＜0 h(-1)≥0 h(1)≥0

，即

1-n＜0 1 e +1-n≥0 e-1-n≥0

，由此求得n的范围．
（Ⅱ）由题意得F′（x）=e^x（mx+1），根据e^x＞0，分类讨论导函数的符号，判断函数F（x）的单调性，从而求得F（x）在[0，1]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵m=1时方程f（x）-g（x）=0在[-1，1]上恰有两个相异实根，令h（x）=f（x）-g（x），
则有

h(0)＜0 h(-1)≥0 h(1)≥0

，即

1-n＜0 1 e +1-n≥0 e-1-n≥0

，解得1＜n＜1+

1

e

，故n的范围为（1，1+

1

e

）．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）g（x），且n=1-m，∴F（x）=e^x（mx+1-m），∴F′（x）=e^x（mx+1）．
∵e^x＞0，∴①当m≥0时F（x）在[0，1]上单调递增，最大值为F（1）=e．
若-

1

m

＜1，即m＜-1，F（x）在[0，F′（x）＞0，F（x）在[0，1]上单调递增，最大值为F（1）=e．
②当m＜0时，由F′（x）=0求得x=-

1

m

＞0．
若-

1

m

≥1，即-1≤m＜0，
-

1

m

]上单调递增，F（x）在[-

1

m

，1]上单调递减，
F（x）在[0，1]上的最大值为F（-

1

m

）=0．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了分类讨论、以及转化的数学思想，属于中档题．