Question

19．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，点P（1+cos α，sin α），参数α∈[0，2π）．
（1）求点P轨迹的直角坐标方程 
（2）求点P到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平方关系即可得出普通方程．
（2）由ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，展开化为ρsin θ+ρcos θ=9．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．求出圆（x-1）²+y²=1的圆心（1，0）到直线x+y=9的距离d，进而得出最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$利用平方关系可得：得点P的轨迹方程（x-1）²+y²=1．
（2）由ρ=$\frac{9}{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，化为ρ=$\frac{9}{sinθ+cosθ}$，
∴ρsin θ+ρcos θ=9．
∴曲线C的直角坐标方程为x+y=9．
圆（x-1）²+y²=1的圆心（1，0）到直线x+y=9的距离d=$\frac{|1-9|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴|PQ|_min=4$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．