Question

16．若曲线y=a^x与y=log_ax（a＞1）有一个公共点A，且这两条曲线在点A处的切线的斜率都是1，则a的值为${e}^{\frac{1}{e}}$．

Answer 1

分析 y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，要使两个函数图象只有一个公共点，则y=x是两个函数的共同的切线．设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，x₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，可得${a}^{{x}_{0}}$=x₀，${a}^{{x}_{0}}$•lna=1，联立求解得答案．

解答 解：∵y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，
∴两个函数图象只有一个公共点时，直线y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，x₀），
∴${a}^{{x}_{0}}$=x₀，${a}^{{x}_{0}}$•lna=1，
联立可得${x}_{0}=\frac{1}{lna}$，
∴${a}^{\frac{1}{lna}}=\frac{1}{lna}$，两边取自然对数，得ln（$\frac{1}{lna}$）=1，
即e=$\frac{1}{lna}$，则lna=$\frac{1}{e}$，
∴a=${e}^{\frac{1}{e}}$，
故答案为：${e}^{\frac{1}{e}}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，注意y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数是关键，考查计算能力，是中档题．