Question

18．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π+x） cos（-3π-x）-2sin（$\frac{π}{2}$-x）cos（π-x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{3}{2}$，α是第二象限角，求cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦函数，结合正弦函数图象来求其单调递增区间；
（2）由（1）中的函数解析式求得sinα=$\frac{1}{4}$．根据α的取值范围得到cosα=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．所以利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式进行解答即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cosx（-cosx）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{12}$）=2sinα+1=$\frac{3}{2}$，
∴sinα=$\frac{1}{4}$．
∵α是第二象限角，
∴cosα=-$\sqrt{1-sin2α}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin2α=-$\frac{\sqrt{15}}{8}$，cos2α=$\frac{7}{8}$．
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos2αcos$\frac{π}{3}$-sin2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{7}{8}$×$\frac{1}{2}$-（-$\frac{\sqrt{15}}{8}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7+3\sqrt{5}}{16}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．