Question

9．给出下列命题：
①sin（α+$\frac{π}{2}$）+cos（π-α）=0，
②函数f（x）=log₃（x²-2x）的单调递减区间为（-∞，1）；
③已知P：|2x-3|＞1，q：$\frac{1}{{{x^2}+x-6}}$＞0，则P是q的必要不充分条件；
④在平面内，与两圆x²+y²=1及x²+y²-8x+12=0都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线．
其中所有正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 ①根据三角函数的诱导公式进行化简，
②根据复合函数单调性的关系进行判断，
③根据不等式的性质和减法，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
④根据圆外切的性质以及双曲线的定义进行判断．

解答 解：①sin（α+$\frac{π}{2}$）+cos（π-α）=cosα-cosα=0，故①正确，
②设t=x²-2x，由x²-2x＞0得x＞2或x＜0，即函数的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），
要求函数函数f（x）=log₃（x²-2x）的单调递减区间，即求函数t=x²-2x的单调递减区间，
∵函数t=x²-2x的单调递减区间是（-∞，1），
∴f（x）=log₃（x²-2x）的单调递减区间为（-∞，0）；故②错误，
③已知P：|2x-3|＞1，则x＞2或x＜1，
q：$\frac{1}{{{x^2}+x-6}}$＞0得x²+x-6＞0，则x＞2或x＜-3，
则P是q的必要不充分条件；故③正确，
④设动圆的圆心为P，半径为r，
而圆x²+y²=1的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x²+y²-8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|=2+r，|PO|=1+r，
则|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，
所以点P的轨迹是双曲线的一支．故④错误，
故答案为：①③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．