Question

14．已知⊙C经过点A（1，0），B（3，-2），且圆心在直线x+y+1=0上．
（1）求⊙C的标准方程．
（2）直线l经过点（-3，-4），且与⊙C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的圆心坐标为（a，-a-1）．，再由圆C经过A（1，0），B（3，-2），可得|CA|²=|CB|²，即（a-1）²+（-a-1）²=（a-3）²+（-a-1+2）²求得a的值，即可求得圆心坐标和半径，从而求得圆C的方程．
（2）用点斜式设出直线l的方程为y+4=k（x+3），根据圆心（1，-2）到直线l的距离等于半径，即$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）由于圆心在直线x+y+1=0上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，-a-1）．
再由圆C经过点A（1，0），B（3，-2），
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-1）²+（-a-1）²=（a-3）²+（-a-1+2）²．
解得 a=1，故圆心C，1，-2），半径r=2，故圆C的方程为 （x-1）²+（y+2）²=4．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y+4=k（x+3），即 kx-y+3k-4=0．
由圆的切线性质可得圆心（1，-2）到直线l的距离等于半径，即$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或$\frac{4}{3}$，
故直线l的方程为y=-4或4x-3y=0．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，以及直线经过定点问题，属于基础题．