Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=1且a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$a_n+（n+1）2ⁿ，设数列{a_n}前n项和为S_n，则S_n为$2+（n-1）•{2^{n+1}}-\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式、“累加求和”方法可得a_n，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$a_n+（n+1）2ⁿ，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，
n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+2+（2²+2³+…+2^n-1）=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．（n=1符合），
令${b_n}=n•{2^n}$，且{b_n}的前n项和为T_n，
${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+L+n×{2^n}，2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+L'+n×{2^{n+1}}$，
作差化简得：${T_n}=2+（n-1）•{2^{n+1}}$，${S_n}={T_n}-\frac{n（n+1）}{2}=2+（n-1）•{2^{n+1}}-\frac{n（n+1）}{2}$，
故答案为：$2+（n-1）•{2^{n+1}}-\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“累加求和”方法、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．