Question

14．设曲线y=xⁿ⁺¹（x∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x_n，则log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+log₂₀₁₆x₃+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅的值为-1．

Answer 1

分析 求出函数y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x_n，然后利用对数的运算性质得答案．

解答 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，∴y′|_x=1=n+1，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
取y=0，得x_n=$\frac{n}{n+1}$．
∴x₁x₂x₃•…•x₂₀₁₅=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{2015}{2016}$=$\frac{1}{2016}$
则log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅=log₂₀₁₆（x₁x₂x₃•…•x₂₀₁₅）=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了对数的运算性质，是中档题．