Question

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆（x+c）²+（y+2）²=1相切，且与椭圆E交于A、B两点．
（1）当AB=

16

5

时，求椭圆E的方程；
（2）求弦AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程与切线方程，利用过F₁的直线与圆（x+c）²+（y+2）²=1相切，求得切线的斜率，将切线AB的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求得椭圆E的方程；
（2）由（1）得，AB的中点（-

4c

5

，

3 c

5

）或（-

4c

5

，-

3 c

5

），进而可得弦AB的中点轨迹方程．

解答：解：椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，可设椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=c2
根据已知设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
（1）圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d=

2

1+k2

=1，
∴k=±

3

∴切线AB为：y=±

3

（x+c），与椭圆方程联立，可得5x²+8cx=0，
∴x₁=0，x₂=-

8c

5

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

16c

5

=

16

5

，∴c=1，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．（9分）
（2）由（1）得，AB的中点（-

4c

5

，

3 c

5

）或（-

4c

5

，-

3 c

5

）
故弦AB的中点轨迹方程为

3

x+4y=0(x＜0)和

3

x-4y=0(x＜0)．（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，解题的关键是确定椭圆的标准方程，属于中档题．