Question

设数列的前项和满足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.

Answer 1

（1），；（2）当且仅当或时等号成立.

试题分析：(1)已知 与 的关系式求出首项和通项，通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由（1）得到，分析第1,2项可得后要证的问题等价于本题是通过利用对称项的关系来证明的，该对称项是通过对的范围的讨论得到的. 通过累加后得到，然后不等式的两边同时加上即可得到答案.
试题解析：⑴ ………①,
当时代入①,得,解得;
由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,
故(对也满足);
⑵当或时,显然,等号成立.
设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:
 
即证:
当时,上面不等式的等号成立.
当时,与,()同为负;
当时,   与,()同为正;
因此当且时,总有 ()()>0,即
,().
上面不等式对从1到求和得,;
由此得 ;
综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.