Question

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，点E，F分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）当AD等于何值时，二面角P-DE-A的大小为30°．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件知EF是△PBC的中位线，由此能证明EF∥平面PAC．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AD等于2

3

时，二面角P-DE-A的大小为30°．

解答： （Ⅰ）证明：点E，F分别是BC，PB的中点，
∴EF是△PBC的中位线，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（Ⅱ）解：PA⊥平面ABCD，
ABCD是矩形，PA=AB=1，
点E，F分别是BC，PB的中点，
以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AD=a，则A（0，0，0），
P（0，0，1），D（a，0，0），
E（

a

2

，1，0），∴

PD

=(a，0，-1)，

DE

=(-

a

2

，1，0)，
设平面PDE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PD =ax-z=0 n • DE =- a 2 x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，

a

2

，a)，
又平面ADE的法向量

m

=(0，0，1)，
∵二面角P-DE-A的大小为30°，
∴cos30°=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

1+ a2 4 +a2

|=

3

2

，
解得a=2

3

或a=-2

3

（舍）．
∴当AD等于2

3

时，二面角P-DE-A的大小为30°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小为30°时，线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．