Question

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为

2

2

，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）连结AC，通过证明MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面BCF．
（II）先由线面垂直的判定定理可证得AD⊥平面ABFE，可知∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角，解Rt△DAE，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（Ⅰ）连AC，

∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点．
在△ACF中，M为AF中点，
故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF．
（Ⅱ）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A
∴AD⊥平面ABFE，
∴DE在面ABFE上的射影是AE．
∴∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角．
故在Rt△DAE中：tan∠DEA=

DA

AE

=

DA

2

=

2

2

∴AD=

2

， DE=

6

．
设P∈EF且AP⊥EF，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，D(0，0，

2

)，E(-

2

，

2

，0)，F(3

2，

2

，0)
∴

AD

=(0，0，

2

)， 

AE

=(-

2

，

2

，0)， 

DE

=(-

2

，

2

，-

2

)， 

DC

=(2

2

，0，0)
设

m

=(x，y，z)， 

n

=(r，s，t)分别是平面ADE与平面CDFE的法向量
令

m • AD =0 m • AE =0

  ，

n • DC =0 n • DE =0

，
即

2 z=0 - 2 x+ 2 y=0

  ，

2 2 x=0 - 2 x+ 2 y- 2 z=0

取

m

=(1，1，0)， 

n

=(0，1，1)
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

∴平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为

π

3

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．