Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．

解答： （1）证明：∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤

e-x-1

ex+e-x-1

在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤

1-t

t2-t+1

在（1，+∞）上恒成立，
∵

1-t

t2-t+1

=-

t-1

(t-1)2+(t-1)+1

=-

1

t-1+ 1 t-1 +1

≥-

1

3

，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-

1

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，属于中档题．