Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，AB=1，AA₁=

6

2

，∠ABC=60°．证明：BD₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：连结BD，交AC于O，连结B₁O交D₁B于E，根据余弦定理求得BD，根据BO∥B₁D₁，确定比例关系分别求得BE，OE，OB，利用勾股定理证明出BD₁⊥OB₁，通过证明出AC⊥面BDD₁，推断出AC⊥BD₁，最后通过线面垂直的判定定理证明出BD₁⊥平面AB₁C．

解答： 证明：连结BD，交AC于O，连结B₁O交D₁B于E，
∵BO∥B₁D₁，
∴

OE

B1E

=

BE

ED1

=

1

2

，
由余弦定理BD=

1+1-2cos120°×1×1

=

3

，
∴OB=

1

2

BD=

3

2

，
OB₁=

6 4 + 3 4

=

3

2

，
∴OE=

1

3

OB₁=

1

2

，
BD₁=

3+ 6 4

=

3 2

2

，BE=

1

3

BD₁=

2

2

，
∴BE²+OE²=BO²，即BD₁⊥OB₁，
∵底面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵DD₁⊥AC，
∴AC⊥面BDD₁，
∵BD₁?面BDD₁，
∴AC⊥BD₁，
∵AC?平面AB₁C，OB₁?平面AB₁C，AC∩OB₁=O，
∴BD₁⊥平面AB₁C．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．证明的关键是找到同一面内同时垂直的两条相交的线．