Question

已知离心率为

1

2

的椭圆C₁的左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂：y²=4x的焦点为F₂，
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）若过焦点F₂的直线l与抛物线C₂交于A，B两点，问在椭圆C₁上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF₂，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（ I）由已知得：F₂（1，0），e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（ II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），设直线AB的方程为：x=ny+1，由

x=ny+1 y2=4x

，得y²-4ny-4=0，由此能求出椭圆上存在M（-2，0），M（2，0）M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合条件．

解答： 解：（ I）由已知得：F₂（1，0），
e=

c

a

=

1

2

，
解得c=1，a=2，
∴椭圆C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（ II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
设直线AB的方程为：x=ny+1，
kMA+kMB=

y0-y1

x0-x1

+

y0-y2

x0-x2

=2kMF2=

2y0

x0-1

…（7分）
∴

(y0-y1)(x0-ny2-1)+(y0-y2)(x0-ny1-1)

(x0-ny1-1)(x0-ny2-1)

=

2y0

x0-1

，
∴- (y1+y2)(x0-1)2+ny0(y1+y2)(x0-1)+2ny1y2(x0-1)=2n2y0y1y2…（10分），
由

x=ny+1 y2=4x

，得y²-4ny-4=0，
∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4，…（11分）
∴n（x₀+1）（x₀-ny₀-1）=0，
∵直线AB不经过F₂（1，0），∴x₀-ny₀-1≠0，∴n=0或x₀=-1…（13分）
当n=0时，椭圆上存在两点M（-2，0）或M（2，0）符合条件；
当n≠0时，则当x₀=-1时，椭圆上存在两点M(-1，

3

2

)和M(-1，-

3

2

)都符合条件．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．