Question

已知向量

a

=（3，-4tanα），

b

=（4，5cosα）．
（1）若

a

∥

b

，求sinα的值；
（2）若

a

⊥

b

，且α∈（0，

π

2

），求cos（2α-

π

3

）的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理和同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用向量垂直于数量积的关系、同角三角函数基本关系式、倍角公式、诱导公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，∴15cosα=-16tanα，
∴15cos²α+16sinα=0，即15sin²α-16sinα-15=0，
解得sinα=-

3

5

或sinα=

5

3

（舍去），
∴sinα=-

3

5

．
（2）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即12-20tanαcosα=0，
∴12-20sinα=0，即sinα=

3

5

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

，
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=1-2sin2α=

7

25

，
∴cos(2α-

π

3

)=

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=

1

2

×

7

25

+

3

2

×

24

25

=

7+24 3

50

．

点评：本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、向量垂直于数量积的关系、倍角公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．