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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设
    AB
    =
    a
    ，
    AD
    =
    b
    ，
    AA1
    =
    c
    ．
    （1）求AC1的长；
    （2）求BD1与AC所成角的余弦值．
    考点：异面直线及其所成的角,空间向量的夹角与距离求解公式
    专题：空间角
    分析：（1）由
    AC1
    =
    a
    +
    b
    +
    c
    ，利用向量法能求出AC1的长．
    （2）由
    BD
    =
    b
    +
    c
    -
    a
    ，
    AC
    =
    a
    +
    b
    ，cos＜
    BD1
    ，
    AC
    ＞=
    (
    b
    +
    c
    -
    a
    )•(
    a
    +
    b
    )
    |
    BD1
    |•|
    AC
    |
    ，能求出BD1与AC所成角的余弦值．
    解答： （1）解：由已知得，
    a
    •
    b
    =
    1
    2
    ，
    b
    •
    c
    =
    1
    2
    ，
    a
    •
    c
    =
    1
    2
    ，
    |
    a
    |=|
    b
    |=|
    c
    |=1    ，…（3分）
    又
    AC1
    =
    a
    +
    b
    +
    c
    ，
    ∴|
    AC
    |=
    		(
    a
    +
    b
    +
    c
    )2
    =
    		1+1+1+1+1+1
    =
    		6
    ．（6分）
    （2）解：∵
    BD
    =
    b
    +
    c
    -
    a
    ，
    AC
    =
    a
    +
    b
    ．…（8分）
    ∴cos＜
    BD1
    ，
    AC
    ＞=
    (
    b
    +
    c
    -
    a
    )•(
    a
    +
    b
    )
    |
    BD1
    |•|
    AC
    |

    =
    1
    2
    +1+
    1
    2
    +
    1
    2
    -1-
    1
    2
    		2
    •
    		3

    =
    		6
    6
    ． …（12分）
    点评：本题考查线段长的求法，考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
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    已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．
    （1）求m，n的值；
    （2）求（1+mx）n（1-x）6展开式中含x2项的系数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，M，N分别是AB，PC的中点；
    （1）求证：MN∥平面PAD；
    （2）求证：BC⊥平面PCD．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（3，-4tanα），
    b
    =（4，5cosα）．
    （1）若
    a
    ∥
    b
    ，求sinα的值；
    （2）若
    a
    ⊥
    b
    ，且α∈（0，
    π
    2
    ），求cos（2α-
    π
    3
    ）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（2sin
    x
    2
    ，1），
    b
    =（cos
    x
    2
    -
    		3
    sin
    x
    2
    ，1），f（x）=
    a
    •
    b
    +m．
    （1）求f（x）在[0，2π]上的单调区间；
    （2）当x∈[0，2π]时，f（x）的最小值为2，求f（x）≥2成立的x的取值集合；
    （3）若存在实数a，b，c，使得a[f（x）-m]+b[f（x-c）-m]=1，对任意x∈R恒成立，求
    b
    acosC
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2
    		2
    ．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
    （1）证明：PQ∥平面BCD；
    （2）若∠BDC=45°，求直线BM与平面ABC所成角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E，F分别是A1B1和BB1的中点，求EF与AD1所成角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，点E，F分别是BC，PB的中点．
    （Ⅰ）证明：EF∥平面PAC；
    （Ⅱ）当AD等于何值时，二面角P-DE-A的大小为30°．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知y=lg（ax-1）-lg（x-1）在（10，+∞）上是增函数，则a的取值范围
     
    ．

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