Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，M，N分别是AB，PC的中点；
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：

分析：（1）做DC的中点E，连接ME，NE，通过中位线的性质证明出NE∥PD，EM∥AD，进而根据线面平行的判定定理分别证明出NE，EM平行面面ADP，进而根据面面平行的判定定理证明出面MNE∥面ADP，继而根据面面平行的性质证明出MN∥平面PAD．
（2）先分别证明出BC⊥CD，PD⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PCD．

解答： 证明：（1）做DC的中点E，连接ME，NE，
∵M，N，E，均为中点，
∴NE∥PD，EM∥AD，
∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，AD∩PD=D，
∴面MNE∥面ADP，
∵MN?面MNE，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．