Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数单调区间；
（3）若x＞0时，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得到f′（-1）=4，f（-1）=1，联立方程组求解a，b的值；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，求出其导函数，由导函数大于0求得增区间，由导函数小于0求得减区间；
（3）把f（x）的解析式代入f（x）≥mx²-2x+2，分离参数m后要么利用基本不等式求最值，要么构造辅助函数，利用导数求最值，则实数m的取值范围可求．

解答： 解：（1）由函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1），
得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b+2=1

，解得a=b=-1；
（2）由（1）得，f（x）=x³-x²-x+2，
则f′（x）=3x²-2x-1，
由f′（x）＞0，得x＜-

1

3

或x＞1．
由f′（x）＜0，得-

1

3

＜x＜1．
∴函数f（x）的单调增区间为(-∞，-

1

3

)，（1，+∞）；
单调减区间为(-

1

3

，1)．
（3）由（1）知：f（x）=x³-x²-x+2，
∵f（x）≥mx²-2x+2，
∴mx²≤x³-x²+x．
∵x＞0，
∴m≤

x3-x2+x

x2

，即m≤x+

1

x

-1，
法一、令g（x）=x+

1

x

-1（x＞0），
∴g（x）≥2

x• 1 x

-1=2-1=1，
当且仅当x=

1

x

时取等号，即x=1时，g（x）_min=1，
∴m≤1．
法二、令g（x）=x+

1

x

-1（x＞0），
∴g'（x）=1-x^-2=0，解得x=1，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
当x=1时，g（x）_min=1，∴m≤1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用不等式恒成立求解参数的取值范围，是压轴题．