Question

已知y=lg（ax-1）-lg（x-1）在（10，+∞）上是增函数，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：应先满足函数的定义域，即当x∈（10，+∞）时ax-1＞0恒成立，由此可得a≥

1

10

；然后将原函数化为y=lg

ax-1

x-1

=lg（a+

a-1

x-1

），结合已知应有y=

a-1

x-1

在（10，+∞）上递增，结合“反比例”函数的性质可求得a＜1 ②最后根据①②可得a的取值范围是[

1

10

，1）．

解答： 解：由函数的定义域，即当 x∈（10，+∞）时，ax-1＞0恒成立，
显然a＞0，∴y=ax-1是增函数，∴只需10a-1≥0，即a≥

1

10

 ①
原函数可化为y=lg

ax-1

x-1

=lg（a+

a-1

x-1

），
由题意只需y=

a-1

x-1

在（10，+∞）上递增，结合“反比例”函数的图象性质可知，
只需a-1＜0，即a＜1 ②
结合①②可得a的取值范围是[

1

10

，1）．
故答案为：[

1

10

，1）

点评：本题综合考查了函数的单调性（包括反比例函数）的性质，不等式恒成立的问题；不等式恒成立问题一般转化为函数的最值问题来解决，属于一种常考题型，应引起重视．