Question

已知（1+mx）ⁿ（m∈R，n∈N^*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x³项的系数为80．
（1）求m，n的值；
（2）求（1+mx）ⁿ（1-x）⁶展开式中含x²项的系数．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）根据2ⁿ=32求得n的值．在通项Tr+1=

C

r 5

mrxr(r=0，1，…，5)，令x的幂指数r=3，可得展开式中含x³项的系数为

C

3 5

m3=80，从而求得m的值．
（2）本题即求（1+2x）⁵（1-x）⁶展开式中含x²项的系数，利用通项公式展开化简可得展开式中含x²项的系数．

解答： 解：（1）由题意，2ⁿ=32，则n=5．
由通项Tr+1=

C

r 5

mrxr(r=0，1，…，5)，
令r=3，可得展开式中含x³项的系数为

C

3 5

m3=80，所以m=2．
（2）即求（1+2x）⁵（1-x）⁶展开式中含x²项的系数，
(1+2x)5(1-x)6=[

C

0 5

+

C

1 5

(2x)1+

C

2 5

(2x)2+…](

C

0 6

-

C

1 6

x+

C

2 6

x2+…)
=（1+10x+40x²+…）（1-6x+15x²+…），
所以展开式中含x²项的系数为1×15+10×（-6）+40×1=-5．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．