Question

空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点，求证：
（1）MN为AB和CD的公垂线；     
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）如图所示，连接DM，CM．利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理及性质定理可证AB⊥MN，CD⊥MN．即MN为AB和CD的公垂线．
（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，利用勾股定理可得CM=

AC2-AM2

，在Rt△CMN中，同理可得MN=

CM2-CN2

即可．
（3）由于

CA

=

CM

+

MN

+

NA

，利用数量积的性质即可得出．

解答： 证明：（1）如图所示，连接DM，CM．
∵空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点，
∴CM⊥AB，DM⊥AB，CM∩DM=M，
∴AB⊥平面CMD，
∴AB⊥MN．
同理可证：CD⊥MN．
∴MN为AB和CD的公垂线．
（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，CM=

AC2-AM2

=

a2-( 1 2 a)2

=

3

2

a．
在Rt△CMN中，MN=

CM2-CN2

=

3a2 4 -( 1 2 a)2

=

2

2

a．
（3）设异面直线AN与CM所成角为θ．
cos＜

CM

，

MN

＞=-

MN

CM

=-

2 2 a

3 2 a

=-

2

3

=cos＜

MN

，

NA

＞．
∵

CA

=

CM

+

MN

+

NA

，
∴

CA

2=

CM

2+

MN

2+

NA

2+2

CM

•

MN

+2

MN

•

NA

+2

CM

•

NA

，
∴a²=

3a2

4

+

2a2

4

+

3a2

4

+2×

3

2

a×

2

2

a•(-

2

3

)×2+2×

3

2

a×

3

2

a×cos＜

CM

，

NA

＞，
解得cos＜

CM

，

NA

＞=

2

3

，
∴cosθ=

2

3

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、线面垂直的判定定理及性质定理、异面直线的公垂线、勾股定理、数量积的性质、异面直线所成的夹角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于难题．