Question

设函数f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（

π

4

，0），求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得函数的图象关于直线x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z对称．再根据函数的图象关于直线x=π对称，且ω∈（

1

2

，1），可得ω的值，可得函数的最小正周期
（2）把点（

π

4

，0）代入函数的解析式求得λ=0，可得f（x）的解析式，从而求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z，故函数的图象关于直线x=

kπ

2ω

+

π

3ω

，k∈z对称．
再根据函数的图象关于直线x=π对称，且ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
故函数的最小正周期为

2π

5 6

=

12π

5

．
（2）若y=f（x）的图象经过点（

π

4

，0），可得2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0，求得λ=-

2

，
∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，故函数f（x）的值域为[-2-

2

，2-

2

]．

点评：本题主要考查正弦函数的对称性、周期性、值域，属于基础题．