Question

18．如图，在同一平面内，∠AOB=150°，∠AOC=120°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=3，|$\overrightarrow{OC}$|=4．
（1）试用$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OA}$；
（2）是否存在实数λ，使得$\overrightarrow{AD}$=$λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=0同时成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{OB}+μ\overrightarrow{OC}$，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=λ${\overrightarrow{OB}}^{2}$=9λ，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$μ{\overrightarrow{OC}}^{2}$=16μ，列出方程解出λ，μ；
（2）假设存在λ，用$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OD}$表示出各向量，根据$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=0列方程解出λ．

解答 解：（1）∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=90°，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2×3×cos150°$=-3$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=2×4×cos120°=-4.$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=0$．
设$\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{OB}+μ\overrightarrow{OC}$，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=λ${\overrightarrow{OB}}^{2}$=9λ，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$μ{\overrightarrow{OC}}^{2}$=16μ．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9λ=-3\sqrt{3}}\\{16μ=-4}\end{array}\right.$，∴λ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，μ=-$\frac{1}{4}$．
∴$\overrightarrow{OA}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$．
（2）假设存在符合条件的λ，
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{5}{4}\overrightarrow{OC}$．
∴$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$=$\frac{\sqrt{3}λ}{3}\overrightarrow{OB}$+$\frac{5λ}{4}\overrightarrow{OC}$.$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\sqrt{3}λ}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$）$\overrightarrow{OB}$+（$\frac{5λ}{4}-\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{OC}$．
∵$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=0$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}λ}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-1$）${\overrightarrow{OB}}^{2}$+$\frac{5}{4}$（$\frac{5λ}{4}-\frac{1}{4}$）${\overrightarrow{OC}}^{2}$=0，
即$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}λ$-$\sqrt{3}$-3）+5（5λ-1）=0，
解得λ=$\frac{8+3\sqrt{3}}{28}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．