Question

3．已知△ABC中，b=6，且sinA：sinB：sinC=5：6：3，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{AB}$的值为-31．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出三角形各边，使用余弦定理求出各角的余弦，根据向量的数量积定义计算．

解答 解：△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=5：6：3，
∴a：b：c=5：6：3．∵b=6，∴a=5，c=3．
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$．cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{15}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{13}{15}$．
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{AB}$=accos（π-B）+abcos（π-C）+bccos（π-A）
=-accosB-abcosC-bccosA=5×$3×\frac{1}{15}$-5×$6×\frac{13}{15}$-6×3×$\frac{1}{3}$=-31．
故答案为：-31．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形，平面向量的数量积运算，属于中档题．