Question

8．在△ABC中，①A＜B?sinA＜sinB；②若△ABC为锐角三角形，且BC=$\sqrt{3}$，B=2A，则AC的取值范围是（$\sqrt{6}$，2$\sqrt{3}$）；③若O为△ABC所在平面内异于A，B，C的一定点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ∈R），则动点P必过△ABC的重心．其中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①
• B． ①③
• C． ①②
• D． ②③

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的单调性和诱导公式推导；
（2）由锐角三角形推出A的范围，利用正弦定理得出AC的范围；
（3）作AD⊥BC，利用向量线性运算的几何意义得出A，D，P三点共线．

解答 解：（1）若A$＜B≤\frac{π}{2}$，则sinA＜sinB，
若A$＜\frac{π}{2}＜B$＜π，则A＜π-B$＜\frac{π}{2}$，∴sinA＜sin（π-B）=sinB，故①正确
（2）由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{2sinAcosA}$，∴AC=2BCcosA=2$\sqrt{3}$cosA．
∵△ABC为锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{A＜\frac{π}{2}}\\{2A＜\frac{π}{2}}\\{π-A-2A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{4}$．
∴$\sqrt{6}$＜2$\sqrt{3}$cosA＜3，故②错误．
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$），∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）．
作△ABC的BC边上的高AD，则$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$=k₁$\overrightarrow{AD}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$=k₂$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AD}$，即点P在直线AD上，故③错误．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理，平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．