Question

19．若点P（x，y）为集合M={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y≤25}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$}内的一个元素时，则$\frac{x+5y}{x}$的最小值为3．

Answer 1

分析 作出可行域，根据可行域求出k=$\frac{y}{x}$的最小值得出答案．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y≤25}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$表示的可行域如图：
令k=$\frac{y}{x}$，则当直线y=kx经过点C时，斜率最小，即k=$\frac{y}{x}$最小．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y=25}\end{array}\right.$得C（5，2）．
∴$\frac{y}{x}$的最小值$\frac{2}{5}$．
∴$\frac{x+5y}{x}$=1+$\frac{5y}{x}$的最小值为1+5×$\frac{2}{5}$=3．
故答案为3．

点评 本题考查了简单的线性规划，根据可行域求出$\frac{y}{x}$的最小值是解题关键，属于中档题．