Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理的逆定理得AC⊥BC，由CC₁⊥平面ABC得AC⊥CC₁，故AC⊥平面BC₁C，于是AC⊥BC₁；
（2）设BC₁与B₁C的交点为E，连结DE，则由中位线定理得DE∥AC₁，于是AC₁∥平面CDB₁；
（3）取AC中点M，连结DM，则DM⊥平面ACC₁，故DM为棱锥D-AA₁C₁的高．

解答 （1）证明：∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，
∴AC⊥BC，
∵AA₁⊥底面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，又BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，∵BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（2）证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：取AC的中点M，连接DM，
∵D是AB的中点，∴DM∥BC且$DM=\frac{1}{2}BC=2$．
又∵BC⊥AC，BC⊥AA₁，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴DM⊥平面ACC₁A₁．
∵${S_{△A{A_1}{C_1}}}=\frac{1}{2}A{A_1}•{A_1}{C_1}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴${V_{D-A{A_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}DM•{S_{△A{A_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×2×6=4$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．