Question

13．平面直角坐标系xOy中，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0），以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B（不同于O），当|AB|取最大值时双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得F为圆心，FO为半径的圆的方程，双曲线的渐近线方程，代入圆的方程求得交点A，B的坐标，及距离，运用基本不等式即可得到a=b，进而得到所求离心率．

解答 解：F为圆心，FO为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=c²，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
代入圆的方程可得，（1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）x²=2cx，
解得x=$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2c{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{c}$，
即有A（$\frac{2{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），B（$\frac{2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
|AB|=$\frac{4ab}{c}$=$\frac{4ab}{2}$=2ab≤a²+b²=c²=4，
当且仅当a=b=$\sqrt{2}$，取得等号．
则双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程与圆的方程联立求交点，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．