Question

3．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差数列，且公差相等，则a₆=（　　）

• A． $\frac{11}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差为d，可得a_n=a₁+（n-1）d，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，于是$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d，$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+2d，化简整理可得：a₁，d，即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，
∴$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d，$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+2d，
平方化为：a₁+d=d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d，2a₁+3d=4d²+4$\sqrt{{a}_{1}}$d，
可得：a₁=$2\sqrt{{a}_{1}}$d-d²，代入a₁+d=d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d，
化为d（2d-1）=0，
解得d=0或$\frac{1}{2}$．
d=0时，可得a₁=0，舍去．
∴$d=\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{1}{4}$．
∴a₆=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×5$=$\frac{11}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．