Question

14．数列{a_n}，{b_n}满足 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n}}\\{\frac{1}{{b}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}•\frac{1}{{b}_{n}}}\end{array}\right.$，a₁＞0，b₁＞0；
（1）求证：{a_n•b_n}是常数列；
（2）若{a_n}是递减数列，求a₁与b₁的关系；
（3）设a₁=4，b₁=1，c_n=log₃$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$，求{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）化简可得b_n+1=2$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，从而可得a_n+1b_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+b_n）•2$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=a_nb_n，从而证明；
（2）由题意知a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$b_n＜a_n，从而求得；
（3）化简可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，从而可得$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}+2}{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4}{{{a}_{n}}^{2}-4{a}_{n}+4}$=（$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$）²，从而可得数列{c_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得．

解答 解：（1）证明：∵$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}{b}_{n}}$），
∴b_n+1=2$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，
∴a_n+1b_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+b_n）•2$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=a_nb_n，
∴{a_n•b_n}是常数列；
（2）∵{a_n}是递减数列，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$b_n＜a_n，
∴a_n＞b_n，
∴a₁＞b₁．
（3）∵a₁=4，b₁=1，∴a_n•b_n=4，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$b_n=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$$\frac{4}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}+2}{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4}{{{a}_{n}}^{2}-4{a}_{n}+4}$=（$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$）²，
∴log₃$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=log₃（$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$）²=2log₃$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$，
即c_n+1=2c_n，
又∵c₁=log₃$\frac{4+2}{4-2}$=1，
故数列{c_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴c_n=1•2^n-1=2^n-1．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想与构造法的应用，属于中档题．