Question

6．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，则a_n=$\frac{{2}^{n-2}}{3•{2}^{n-2}-1}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边取倒数，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-3$}构成以-2为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-3=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-3）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}-3=-2≠0$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-3$}构成以-2为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}-3=-2（\frac{1}{2}）^{n-1}=-\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=3-\frac{1}{{2}^{n-2}}=\frac{3•{2}^{n-2}-1}{{2}^{n-2}}$，
∴${a}_{n}=\frac{{2}^{n-2}}{3•{2}^{n-2}-1}$．
故答案为：$\frac{{2}^{n-2}}{3•{2}^{n-2}-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．