Question

1．已知函数f（x）=2|x+1|+|x-2|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （1）讨论x的取值，脱去函数f（x）的绝对值，求出f（x）的最小值m；
（2）根据a+b+c=m=3，利用基本不等式求出$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$+（a+b+c）的最小值，即可证明结论成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2|x+1|+|x-2|，
当x＜-1时，f（x）=-2（x+1）-（x-2）=-3x∈（3，+∞）；
当-1≤x＜2时，f（x）=2（x+1）-（x-2）=x+4∈[3，6）；
当x≥2时，f（x）=2（x+1）+（x-2）=3x∈[6，+∞）；
综上，f（x）的最小值为m=3；
（2）a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m=3，
又因为$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$+（a+b+c）=（$\frac{{b}^{2}}{a}$+a）+（$\frac{{c}^{2}}{b}$+b）+（$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）
≥2（$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{a}•a}$+$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{b}•b}$+$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{c}•c}$）=2（a+b+c），
当且仅当a=b=c=1时，取“=”，
所以，$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c，
即$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

点评 本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．