Question

7．定义一种新运算：$a?b=\left\{\begin{array}{l}b，（a≥b）\\ a，（a＜b）\end{array}\right.$，已知函数$f（x）=\frac{4}{x}?（1+{log_2}x）（x＞0）$，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围为（0，2）．

Answer 1

分析 由新定义可得函数f（x）的解析式，问题等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象可得答案．

解答 解：令$\frac{4}{x}$=1+log₂x，可解得x=2，此时函数值为2，
而且当0＜x≤2时，$\frac{4}{x}$≥1+log₂x，当x＞2时$\frac{4}{x}$＜1+log₂x，
$f（x）=\frac{4}{x}?（1+{log_2}x）（x＞0）$=$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x，0＜x≤2}\\{\frac{4}{x}，x＞2}\end{array}\right.$，
函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点等价于
函数f（x）与y=k的图象有两个交点，
作出函数的图象：
由图象可知，k的取值范围为（0，2），
故答案为：（0，2）．

点评 本题考查根的存在性即个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．