Question

18．已知幂函数y=f（x）的图象经过点$（4，\frac{1}{2}）$，且f（a+1）＜f（10-2a），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，5）
• B． （-∞，3）
• C． （3，+∞）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10-2a）化为等价的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞10-2a}\\{10-2a＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：幂函数y=f（x）=x^α的图象经过点$（4，\frac{1}{2}）$，
∴4^α=$\frac{1}{2}$，解得α=-$\frac{1}{4}$；
∴f（x）=${x}^{-\frac{1}{4}}$，x＞0；
又f（a+1）＜f（10-2a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞10-2a}\\{10-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得3＜a＜5，
∴实数a的取值范围是（3，5）．
故选：D．

点评 本题考查了用待定系数法求函数解析式以及利用函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目．