Question

17．方程$\sqrt{x}$-1nx-2=0的根的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用函数与方程的关系构造函数求函数的导数，求出函数的极值，判断函数单调性和极值的关系即可得到结论．进行求解即可．

解答 解：由$\sqrt{x}$-1nx-2=0，设设f（x）=$\sqrt{x}$-1nx-2，
则函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}$，
由f′（x）＞0得x-2$\sqrt{x}$＞0，即x＞4，
由f′（x）＜0得x-2$\sqrt{x}$＜0，即0＜x＜4，
即当x=4时，函数取得极小值f（4）=$\sqrt{4}$-ln4-2=2-ln4-2=-ln4＜0，
当x→0时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴函数f（x）有两个零点，
则定义方程$\sqrt{x}$-1nx-2=0有两个根，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，构造函数求函数的导数，求出函数的极值是解决本题的关键．