Question

12．已知函数f（x）=x|x-a|，x∈R．
（I）当a=0时，求证：函数f（x）递增；
（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=0时，f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，接下来可以用函数单调性的定义进行证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，分别在x₁，x₂都大于零或都小于零、或其中一个大于零另一个小零情况下得到f（x₁）＜f（x₂），所以函数为R上的增函数；
（2）先在（0，+∞）上将原函数变形，变为f（x）=x|x-a|=|x（x-a）|，再令g（x）=x（x-a），通过讨论二次函数g（x）的性质可知，得到它的单调性：f（x）在（0，$\frac{1}{2}$a）上递增，在（$\frac{1}{2}$a，a）上递减，在（a，+∞）上递增．再讨论自变量1究竟落在哪一个区间内，结合比较f（1）、f（$\frac{1}{2}$a）的大小，再解相关的不等式，最后综合可得实数a的取值范围是[2$\sqrt{2}$-2，2]．

解答 解：（1）证明：由题意，f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
当0≤x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²＜0；
当x₁＜x₂≤0时，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+x₂²=|x₂|²-|x₁²|＜0；
当x₁＜0＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²-x₂²＜0．
综上所述，f（x）在的上为单调增函数．
（2）在区间（0，+∞）上，函数f（x）=x|x-a|=|x（x-a）|，
令g（x）=x（x-a），它在（0，$\frac{1}{2}$a）上递减，在上（$\frac{1}{2}$a，+∞）递增，
而在[0，+∞）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≥a}\\{-g（x），0≤x＜a}\end{array}\right.$，
根据二次函数g（x）的性质可知，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$a）上递增，在（$\frac{1}{2}$a，a）上递减，
在（a，+∞）上递增；
当1∈（0，$\frac{1}{2}$a]时，即当$\frac{1}{2}$a≥1时，[f（x）]_max=f（1）=a-1，解得a-1=$\frac{1}{4}$a²，
故此时a=2；
当1∈（$\frac{1}{2}$a，a]时，即1≤a＜2时，此时，[f（x）]_max=f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{1}{4}$a²，
此时的$\frac{1}{2}$a均满足题意．
当1∈（a，+∞）时，即0＜a＜1时，[f（x）]_max为f（1）与f（$\frac{1}{2}$a）中较大者，
而故f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{1}{4}$a²，f（1）=1-a，故[f（x）]_max=$\frac{1}{4}$a²，
当且仅当$\frac{1}{4}$a²≥1-a，解这个不等式，得2$\sqrt{2}$-2≤a＜1．
综上所述，实数m的取值范围是[2$\sqrt{2}$-2，2]．

点评 本题以含有绝对值的函数为例，考查了二次函数的单调性和函数的零点等知识点，属于难题．解题时应该注意分类讨论和转化化归等常用数学思想的运用．