Question

4．已知抛物线y²=4x的焦点为F，圆C：x²+（y-5）²=r²与该抛物线交于A，B两点，若A、B、F三点共线，则AB的长度为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 设出直线方程x=ty+1，分别联立直线方程与抛物线方程和圆的方程，利用根与系数的关系可得等式，求得t的值，则答案可求．

解答 解：如图，设AB所在直线方程为x=ty+1
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4=0①，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{x}^{2}+（y-5）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，得（t²+1）y²+（2t-10）y+26-r²=0．
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{10-2t}{{t}^{2}+1}$，
则$4t=\frac{10-2t}{{t}^{2}+1}$，即4t³+4t=10-2t，
∴4t³+6t-10=0，解得：t=1．
∴AB所在直线方程为y=x-1，
则①化为y²-4y-4=0，
y₁+y₂=4，
∴|AB|=x₁+x₂+2=y₁+y₂+2+2=8．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．