Question

14．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（0＜φ＜π），若函数f（x+$\frac{π}{6}$）是偶函数，且f（$\frac{π}{6}$）=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（-x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，结合f（$\frac{π}{6}$）=4，0＜φ＜π，求出A和φ，可得函数f（x）的解析式；
（2）函数g（x）=f（-x）=4sin（2x+$\frac{5π}{6}$），结合正弦函数的单调性，可得函数g（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x+$\frac{π}{6}$）是偶函数，
∴函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
又由f（$\frac{π}{6}$）=4，
可得：A=4，2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）函数g（x）=f（-x）=4sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=4sin[π-（-2x+$\frac{π}{6}$）]=4sin（2x+$\frac{5π}{6}$）；
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
-$\frac{π}{6}$+kπ≤2x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z
故函数g（x）的单调递减区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]，k∈Z

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．