Question

6．将函数f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到函数的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得φ的值，求得函数g（x）的解析式为g（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），利用余弦函数值域求得函数g（x）的最值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∴将函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到函数解析式为：y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+φ+$\frac{π}{3}$]=2cos（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∵函数的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称，
∴对称中心在函数图象上，可得：2cos（2×$\frac{π}{2}$+φ+$\frac{π}{3}$）=2cos（π+φ+$\frac{π}{3}$）=0，解得：π+φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，则函数g（x）=cos（x+φ）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值是$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性、定义域、值域，属于中档题．