Question

1．已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0．n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0．若b_n=3^n-1，则数列{a_n}的前n项和S_n=（n-1）•3ⁿ+1．

Answer 1

分析 a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，b_n=3^n-1，代入变形为：$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$，利用等差数列的通项公式可得：a_n=（2n-1）•3^n-1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，b_n=3^n-1，
∴3a_n-a_n+1+2×3ⁿ=0，
化为$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{3}$，公差为$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}（n-1）$，
可得a_n=（2n-1）•3^n-1．
∴S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，
∴3S_n=3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-1-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2，
S_n=（n-1）•3ⁿ+1．
故答案为：（n-1）•3ⁿ+1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．