Question

【题目】已知点P（1，1），过点P动直线l与圆C：x2+y2﹣2y﹣4=0交与点A，B两点．
（1）若|AB|= ，求直线l的倾斜角；
（2）求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：圆C：x2+y2﹣2y﹣4=0，

化为圆的标准方程x2+（y﹣1）2=5，圆心C（0，1），r= ．

∵又|AB|=

当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1时，显然不满足题意；

当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣1）即kx﹣y+1﹣k=0

故弦心距d= = ．

再由点到直线的距离公式可得d= = ，

解得：k=± ．

即直线l的斜率等于± ，

根据tanθ=k，

故得直线l的倾斜角等于 或 ．

（2）解：由题意：线段AB中点为M，设M的坐标（x，y），

由垂径定理可知∠PMC=90°，故点M的轨迹是以CP为直径的圆，

又∵点C（0，1），P（1，1）

故M的轨迹方程为 ．

【解析】（1）利用点斜式，设出过P点的直线l，利用与圆的弦长为 ，求出k的值，可得直线l的倾斜角；（2）设M的坐标（x，y），由垂径定理可知∠PMC=90°，故点M的轨迹是以CP为直径的圆．可得方程．