Question

【题目】设f（k）是满足不等式log2x+log2（52k﹣1﹣x）≥2k（k∈N*）的自然数x的个数．
（1）求f（k）的函数解析式；
（2）Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由原不等式得log2（52k﹣1x﹣x2）≥2k=log222k，

则x2﹣52k﹣1x+22k≤0，

故2k﹣1≤x≤42k﹣1．

∴f（k）=42k﹣1﹣2k﹣1+1=32k﹣1+1（k∈N*）；

（2）

解：kf（k）=3k2k﹣1+k．

Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+22+…+n2n﹣1）+（1+2+…+n），

设t=1+22+…+n2n﹣1（1）

2t=12+222+…+n2n（2）

（1）式减（2）式得﹣t=1+2+…+2n﹣1﹣n2n

∴t=（n﹣1）2n+1

∴ ．

【解析】（1）由原不等式得log2（52k﹣1x﹣x2）≥2k=log222k ， 则x2﹣52k﹣1x+22k≤0，得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式；（2）由Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+22+…+n2n﹣1）+（1+2+…+n），利用错位相减法、等差数列的求和公式，即可求得结果．
【考点精析】本题主要考查了对数的运算性质和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握①加法：②减法：③数乘：④⑤；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．