Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，

∴AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

∵A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，

∴DE∥A1C1F；

（2）解：∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，

∴AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，

∵DE∥A1C1，

∴DE⊥平面AA1B1B，

又∵A1F平面AA1B1B，

∴DE⊥A1F，

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D平面B1DE，

∴A1F⊥平面B1DE，

又∵A1F平面A1C1F，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F．

【解析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1 ， 据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．