Question

如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B，测得此岛的方位角为β，再前进xkm后到达C处，测得此岛在其正北方向．已知该岛周围5km内有暗礁．
（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（Ⅱ）若x=4，试问：当α-β最大时，该船有无触礁危险？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）确定∠AMC、∠BMC，利用AB=5，求出MC与5比较，即可得到结论；
（2）求出tanα=

9

MC

，tanβ=

4

MC

，利用和角的正切公式，结合基本不等式，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵α=2β=60°，
∴α=60°，β=30°，
∴在Rt△MCA，∠AMC=60°，Rt△MCB中，∠BMC=30°，
∵AB=5，∴

3

MC-

3

3

MC=5，
∴MC=

5 3

2

＜5，
∴该船有触礁危险；
（Ⅱ）在Rt△MCA，9=tanα•MC，Rt△MCB中，4=tanβ•MC
∴tanα=

9

MC

，tanβ=

4

MC

，
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

5 MC

1+ 36 MC2

=

6

MC+ 36 MC

≤

6

12

=

1

2

，
当且仅当MC=6时，取等号，即tan（α-β）取得最大值，α-β最大，
此时MC=6＞5，
∴该船没有触礁危险．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．