Question

9．如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2$\sqrt{2}$．求证：
（1）PA⊥平面EBO
（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

分析 （1）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO．
（2）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．

解答 证明：（1）由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，
△ABC为等边三角形．    …（2分）
因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC． …（5分）
因为PA?平面PAC，所以BO⊥PA，
在等腰△PAC内，O、E为所在边的中点，所以OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO，…（8分）
（2）连AF交BE于Q，连QO．
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以$\frac{AO}{OG}$=2，且Q是△PAB的重心，…（10分）
于是$\frac{AQ}{QF}$=2=$\frac{AO}{OG}$，所以FG∥QO．…（12分）
因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO．     …（14分）

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．