Question

19．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线C上的一点，点P处的切线与直线y=x平行，且|PF|=3，则抛物线C的方程为（　　）

• A． x²=4y
• B． x²=8y
• C． x²=6y
• D． x²=16y

Answer 1

分析 设出切点坐标，求出函数的导数，利用切线方程，以及|PF|=3，求解即可．

解答 解：设切点坐标P（m，$\frac{{m}^{2}}{2p}$），抛物线C：x²=2py，
可得：y′=$\frac{x}{p}$
点P为抛物线C上的一点，点P处的切线与直线y=x平行，
可得$\frac{m}{p}=1$，…①
又|PF|=3，
所以$\frac{{m}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}$=3，…②
解①②可得：p=m=3．
抛物线C的方程为：x²=6y．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．