Question

7．已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，$\sqrt{2}ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，射线θ=φ，$θ=φ+\frac{π}{4}$，$θ=φ-\frac{π}{4}$与曲线C₁交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（Ⅰ）求证：$|OB|+|OC|=\sqrt{2}|OA|$；
（Ⅱ）当$φ=\frac{π}{12}$时，求点B到曲线C₂上的点的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别表示出|OB|和|OC|，根据三角恒等变换证明即可；
（Ⅱ）求出曲线C₂的直角坐标方程，求出B的直角坐标，根据点到直线的距离求出其最小值即可．

解答 （Ⅰ）证明：依题意|OA|=2cosφ，$|OB|=2cos（φ+\frac{π}{4}）$，$|OC|=2cos（φ-\frac{π}{4}）$，
则$|OB|+|OC|=2cos（φ+\frac{π}{4}）+2cos（φ-\frac{π}{4}）$
=$2[cosφcos\frac{π}{4}-sinφsin\frac{π}{4}+cosφcos\frac{π}{4}+sinφsin\frac{π}{4}]=4cosφcos\frac{π}{4}$
=$2\sqrt{2}cosφ=\sqrt{2}|OA|$．
（Ⅱ）解：∵$\sqrt{2}ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$ρsinθ-ρcosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
曲线C₂的直角坐标方程为$x-y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=0$．
又∵B极坐标为（1，$\frac{π}{3}$），化为直角坐标为$（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴B到曲线C₂的距离为$d=\frac{{|\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴所求距离的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，考查极坐标和直角坐标的转化，考查转化思想，是一道中档题．