Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1-x}{{1+{x^2}}}{e^x}$，若f（x₁）=f（x₂），且x₁＜x₂，关于下列命题：（1）f（x₁）＞f（-x₂）；（2）f（x₂）＞f（-x₁）；（3）f（x₁）＞f（-x₁）；（4）f（x₂）＞f（-x₂）．正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，画出图象，结合椭题意可知x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．再证明?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），数形结合得答案．

解答 解：函数f（x）的定义域为R．
f′（x）=$\frac{-x[（x-1）^{2}+2]}{（1+{x}^{2}）^{2}}•{e}^{x}$，
当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
由f（x₁）=f（x₂），且x₁＜x₂，可知x₁＜0，x₂＞0，
当x＜1时，由于$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＞0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．
由上可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），
即证$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}•{e}^{x}$＜$\frac{1+x}{1+{x}^{2}}•{e}^{-x}$．
此不等式等价于$（1-x）{e}^{x}-\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=$（1-x）{e}^{x}-\frac{1+x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0．
即$（1-x）{e}^{x}-\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
由x₁∈（-∞，0），可知f（x₁）＜f（-x₂），故（1）错误；
f（x₁）＞f（-x₁），故（3）正确；
由x₂∈（0，1），可知f（x₂）＞f（-x₁），故（2）正确；
f（x₂）＜f（-x₂），故（4）错误．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．