Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln$\frac{a}{b}}$）+f（ln$\frac{b}{a}}$）-2f（1）＜0，则$\frac{a}{b}$的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}}$）
• B． （$\frac{1}{e}$，e）
• C． （e，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{e}}$）∪（e，+∞）

Answer 1

分析 由函数为定义在R上的偶函数且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则不等式可转化为f（ln$\frac{a}{b}}$）＜f（1），求解对数不等式即可解得答案．

解答 解：∵f（x）定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调减函数
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，
又f（ln$\frac{a}{b}}$）+f（ln$\frac{b}{a}}$）-2f（1）＜0，
∴f（ln$\frac{a}{b}}$）＜f（1），
∴|ln$\frac{a}{b}}$|＞1，
∴ln$\frac{a}{b}}$＞1或ln$\frac{a}{b}}$＜-1，
可以解得，$\frac{a}{b}$的取值范围是（0，$\frac{1}{e}}$）∪（e，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性，考查偶函数在对称区间上具有相反的单调性的性质，考查学生的计算能力，此题是中档题．